考虑以下题目：

$$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^4} \int_h^{2h} x \ln (\cos x) \mathrm dx$$

众所周知，我们有 $\ln (1 + x)$ 和 $\cos x$ 在 $x = 0$ 处的泰勒展开如下：

$$\ln (1 + x) \equiv x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \pmod {x^4}$$

$$\cos x \equiv 1 - \frac{x^2}{2} \pmod {x^4}$$

那么我们写个程序剥蒜多项式复合加积分，就可以得到：

$$f(x) := \int_0^x t \ln (\cos t) \mathrm dt \equiv -\frac{x^4}{8} \pmod {x^5}$$

然后我们就还只差一步：

$$\int_h^{2h} x \ln (\cos x) \mathrm dx = f(2h) - f(h) \equiv \frac{15}{8} h^4 \pmod {h^5}$$

易得之前的题目的答案为 $\frac{15}{8}$。

课后习题 (bushi)：

$$\lim_{h \rightarrow 0} \frac 1h \int_1^2 x^2 \tan (hx) \mathrm dx$$